Veli Kujala opiskeli harmonikansoittoa ja sävellystä Sibelius-Akatemiassa vuosina 1996–2010. Hän valmistui musiikin maisteriksi vuonna 2004 ja musiikin tohtoriksi vuonna 2010 erityismaininnalla ”kiitoksella hyväksytty” aiheenaan uusi suomalainen harmonikkamusiikki. Hänet on palkittu useasti kansainvälisissä kilpailuissa sekä harmonikansoittajana että säveltäjänä. Hänen monipuolinen sävellystuotantonsa ulottuu elektroakustisista teoksista orkesteriteoksiin. Vuonna 2016 julkaistu sävellysprofiililevy ‘Hyperorganism’ oli ehdolla sekä Yleisradion vuoden levyksi että Klassinen Emma -palkinnon saajaksi. Vuonna 2020 Suomen Musiikkikustantajat ry myönsi hänelle “Vuoden taidemusiikin säveltäjä” -palkinnon. Ihan uransa alkumetreiltä lähtien hän on ollut aktiivinen myös jazzin ja improvisoidun musiikin kentällä ja esiintyy säännöllisesti tunnustettujen muusikoiden kuten Frank Gratkowski, Mikko Innanen, Achim Kaufmann ja Harri Sjöström kanssa. Tällä hetkellä aktiivisimmat yhtyeet ovat Gourmet ja Sestetto Internazionale.

Veli Kujala on esiintynyt mm. Avanti!:n, Gävle Symfoniorkesterin, Helsingin Kaupunginorkesterin, Insomnion, Keski-Pohjanmaan kamariorkesterin, Lapin kamariorkesterin, Oulun kaupunginorkesterin, Sinfonia Lahden, Tapiola Sinfoniettan, UMOn ja Västerås Sinfoniettan solistina. Hän on myös esiintynyt Metropolitan Operan lavalla Hamlet-produktiossa klassisen harmonikansoittajan roolissa sekä Kulturföreningen Katrinan Lisbeta-oopperassa harakan roolissa. Hän on kantaesittänyt yhdeksän konserttoa säveltäjiltä Markus Fagerudd, Sampo Haapamäki, Veli Kujala Pekka Pohjola, Joachim F.W. Schneider, Jukka Tiensuu ja Olli Virtaperko, joista neljä on sävelletty mikroaskelharmonikalle, uudelle instrumentille, jonka Kujala kehitteli yhdessä Haapamäen kanssa. Soolo- ja kamarimusiikkiteoksia hän on kantaesittänyt mm. säveltäjiltä Kalevi Aho, Kyle Gann, Friedrich Goldmann, Tuomas Kettunen, Tiina Myllärinen, Einojuhani Rautavaara, Osmo Tapio Räihälä, Tomi Räisänen, Lotta Wennäkoski, Matthew Whittall, James Wood ja Helmut Zapf.

Veli Kujala on konsertoinut useimmissa Euroopan maissa ja USAssa. Vuodesta 2005 lähtien hän on opettanut harmonikansoittoa ja improvisaatiota Sibelius-Akatemiassa ja toimii syksystä 2020 alkaen Taideyliopiston Sibelius-Akatemian harmonikkamusiikin lehtorina ja vastuuopettajana.